Question

5．设x₁，x₂是方程2x²+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x₁+2）（x₂+2）；
（2）$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2，x₁x₂=-$\frac{3}{2}$，再进行代数式变形得到（1）中的原式=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4，（2）中的原式=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后分别利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=-2，x₁x₂=-$\frac{3}{2}$，
（1）原式=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=-$\frac{3}{2}$+2×（-2）+4=-$\frac{3}{2}$；
（2）原式=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（-2）^{2}-2×（-\frac{3}{2}）}{-\frac{3}{2}}$=-$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．