Question

20．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是①②④．

Answer 1

分析 ①连接EG．根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线．得到∠ABF=∠EBD．由于∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEF，根据等腰三角形的性质可得②正确；③如果∠EBC=∠C，则∠C=$\frac{1}{2}$∠ABC，由于∠BAC=90°那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误；④证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出四边形AFGE是平行四边形，得到GF∥AE，故④正确；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等边三角形，得到EF≠AE，于是EF≠FG，故⑤错误．

解答 解：①连接EG．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．
∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确；
②∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线．
∴∠ABF=∠EBD．
∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，故②正确；
③如果∠EBC=∠C，则∠C=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠BAC=90°
那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误；
④∵AG是∠DAC的平分线，
∴AN⊥BE，FN=EN，
在△ABN与△GBN中，∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABN=∠GBN}\\{BN=BN}\\{∠ANB=∠BNG=90°}\end{array}\right.$
∴△ABN≌△GBN，（ASA）
∴AN=GN，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴GF∥AE，
即GF∥AC．故④正确；
⑤∵AE=AF，AE=FG，
而△AEF不是等边三角形，
∴EF≠AE，
∴EF≠FG，故⑤错误．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握定理是解题的关键．