Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论

①2a﹣b＝0；

②a+b+c＝0；

③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；

④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；

⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】D

【解析】

把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②；

根据抛物线的顶点和最值即可判断③；

求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标，进而可求得此时a的值，于是可判断④；

根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤.

解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正确；

∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，

∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确；

当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣1，2），

可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣，故④正确，

如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，

∵AD＝＝3，BD＝＝，

∴△PBD周长最小值为3，故⑤正确．

故选：D．