在平面直角坐标系xOy中.点M(2.2).以点M为圆心.OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B.与x轴.y轴的另一交点分别为点D.A.连接AM．点P是AB上的动点．(1)写出∠AMB的度数,(2)点Q在射线OP上.且OP•OQ=20.过点Q作QC垂直于直线OM.垂足为C.直线QC交x轴于点E．①当动点P与点B重合时.求点E的坐标,②连接QD.设点Q的纵� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在平面直角坐标系xOy中，点M（

，

），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是

上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．

考点：圆的综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（

，

），可得∠MOH=45°，OH=MH=

，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数；
（2）①由OH=MH=

，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点P与点B重合时，OP•OQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案；
②由OD=2

，Q的纵坐标为t，即可得S=

×2

t，然后分别从当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答案．

解答：

解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，
∵点M（

，

），
∴OH=MH=

，
∴∠MOD=45°，
∵∠AOD=90°，
∴∠AOM=45°，
∵OM=AM，
∴∠OAM=∠AOM=45°，
∴∠AMO=90°，
∴∠AMB=90°；

（2）①∵OH=MH=

，MH⊥OD，
∴OM=

MH2+OH2

=2，OD=2OH=2

，
∴OB=4，

∵动点P与点B重合时，OP•OQ=20，
∴OQ=5，
∵∠OQE=90°，∠POE=45°，
∴OE=5

，
∴E点坐标为（5

，0）

②∵OD=2

，Q的纵坐标为t，
∴S=

×2

t．
如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，
∵OP=4，OP•OQ=20，

∴OQ=5，
∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，
∴t=QF=

，
此时S=

=5；
如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，
∴OP=2

，
∵OP•OQ=20，
∴t=OQ=5

，
此时S=

×5

=10；
∴S的取值范围为5≤S≤10．

点评：此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

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