Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，为坐标原点，、在坐标轴上，把正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，交轴于点，且点恰为的中点，则点的坐标为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据旋转的知识可知：四边形M′N′E′O为正方形，可得OE′＝N′E′，∠OE′N′＝90°，∠E′OF＝∠MOM′，由于F是N′E′的中点，故E′F＝E′N′＝OE′，由此在Rt△E′OF中，tan∠E′OF＝，根据三角函数与勾股定理即可求得点M′的坐标．

∵四边形M′N′E′O为正方形，

∴OE′＝N′E′，∠OE′N′＝90°．

又∵F是N′E′的中点，

∴E′F＝E′N′＝OE′．

∵由旋转性质可知，∠E′OF＝∠MOM′，

∴在Rt△E′OF中，tan∠E′OF＝；

过点M′作M′G⊥x轴，垂足为点G，

在Rt△M′GO中，tan∠MOM′＝，

设M′G＝k，则OG＝2k，在Rt△M′GO中，OM′＝，

根据勾股定理，得M′G2＋OG2＝OM′2．

即k2＋(2k)2＝()2，

解得k1＝1（舍），k2＝1．

∴M′G＝1，OG＝2．

又∵点M′在第二象限，

∴点M′的坐标为（2，1）．

故答案为：（2，1）．