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19.如图,在△ABC中,AB=AC=BC=8,点D为AB中点,点P从B点沿射线BC以2个单位/每秒运动,点Q从点C沿线段CA以1个单位/每秒运动,运动时间为t秒.求:
(1)t为何值时,△BPD为直角三角形?
(2)t为何值时,△PCQ为等腰三角形?
(3)是否存在这样时刻t,使得△BPD与△PCQ全等?若存在,求出这样的时间t的值,若不存在,请说明理由.

分析 (1)分∠BPD=90°、∠BDP=90°两种情况,根据直角三角形的性质计算;
(2)根据等边三角形的性质和判定定理列出方程,解方程即可;
(3)分PC=BD、BD=CQ两种情况,根据全等三角形的判定定理进行判断即可.

解答 解:(1)当∠BPD=90°时,BP=$\frac{1}{2}$BD,即2×2t=4,
解得,t=1;
当∠BDP=90°时,
∵点D为AB中点,
∴点P与点C重合,
∴t=4;
∴当t=1或t=4时,△BPD为直角三角形;

(2)∵AB=AC=BC=8,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°,
当△PCQ为等腰三角形时,△PCQ为等边三角形,
∴CP=CQ,即8-2t=t,
解得,t=$\frac{8}{3}$;

(3)不存在这样时刻t,使得△BPD与△PCQ全等.
当PC=BD时,8-2t=4,
解得,t=2,
则BP=4,
此时CQ=2,
∴BP≠CQ;
当BD=CQ时,t=4,
此时BP≠CP,
∴不存在这样时刻t,使得△BPD与△PCQ全等.

点评 本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定,掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键,解答时,注意分情况讨论思想的灵活运用.

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