Question

2．由黑白两种小正方形地砖按如图的方式铺设正方形图案，图案的每边铺的地砖数为n（n≥2）．根据规律回答下列问题：

（1）第5个图案中黑色地砖有18块；
（2）若n为偶数，黑白地砖数量存在的关系为相等；
（3）若某个图案中有60块白色地砖，则黑色地砖有61块．

Answer 1

分析 （1）仔细观察图形，分别列出每个图形黑白地砖的数量，根据规律画出n=6时的分布情况；（2）在第一问的基础上找出n为偶数时黑白砖块的关系；（3）进一步分析列出n分别为偶数和奇数时黑白地砖的计算式子，将60代入式子中判断此时n为偶数或奇数从而得到结论．

解答 解：（1）当n=2时，图形中图中白色的地砖为2，黑色为2；当n=3时，图形中图中白色的地砖为4，黑色为5；当n=4时，图形中图中白色的地砖为8，黑色为8；
     当n=5时，图形中图中白色的地砖为12，黑色为13；由此找到规律n为偶数时黑白地砖块数相等，n为奇数时，黑色地砖比白色地砖多1；
     则第五个图案时n=6，黑色地砖为总砖块n²的一半，既6²÷2=18；
（2）由上题推导得知当n为偶数时，黑白地砖数量相等；
（3）当n为偶数时，白黑地砖数量相等为$\frac{{n}^{2}}{2}$；当n为奇数时，黑色地砖的数量是$\frac{{n}^{2}+1}{2}$，白色地砖的数量是$\frac{{n}^{2}-1}{2}$；
     白色地砖为60时，分别代入n为偶数和奇数两个式子计算；$\frac{{n}^{2}}{2}=60$  n解不出整数根； $\frac{{n}^{2}-1}{2}$=60，解得n=11．
则黑色地砖为60+1=61块．

点评 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到n的偶数和奇数与黑白地砖的关系，难度适中．