Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2﹣ax+6与x轴负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，且AB=7．

（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点P在第一象限内抛物线上，过P作PH∥AB，交y轴于点H，连接AP，交OH于点F，设HF=d，点P的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，当PH=2d时，将射线AP沿着x轴翻折交抛物线于点M，在抛物线上是否存在点N，使∠AMN=45°，若存在，求出点N的坐标．若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2﹣ax+6与x轴负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，且AB=7，

又∵对称轴x=﹣ = ，

∴A（﹣3，0），B（4，0），

把（﹣3，0）代入y=ax2﹣ax+6得a=﹣

（2）

解：由抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+6，设P（t，﹣ t2+ t+6），

∵PH∥OA，HF=d，OF=﹣ t2+ t+6﹣d，PH=t，OA=3，

∴ ，

∴ = ，

∴d= t=﹣ +2t（0＜t＜4）

（3）

解：∵t=PH=2d，

∴d= ，

∴ =﹣ t2+2t，

解得t=3或0（舍弃），

∴P（3，3），点P关于x轴的对称点K（3，﹣3），

∴直线AM的解析式为y=﹣ x﹣ ，

由 解得 或 ，

∵A（﹣3，0），

∴M（5，﹣4），

如图3中，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MG，过点A作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，两直线交于点E，作GD⊥EM交EM的延长线于D．

易知△AME≌△MGD，∴AE=DM=4，EM=DG=8，

∴G（9，4），

取线段AG的中点T（3，2），作直线MT交抛物线于N1，此时∠AMN1=45°，

∵直线MT的解析式为y=﹣3x+11，

由 解得 或 ，

∵M（5，﹣4），

∴N1（2，5）．

设点G关于直线AM的对称点为G1，则G1（1，﹣12），取AG1的中点T1，作直线MT1交抛物线于N2，则∠N2MA=45°，

∵直线MT1的解析式为y= x﹣ ，

由 解得 或 ，

∵M（5，﹣4），

∴N2（﹣ ，﹣ ）．

综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，5）或（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）根据对称轴x= ，以及AB=7，可得A（﹣3，0），B（4，0），利用待定系数法即可求出a的值．（2）由抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+6，设P（t，﹣ t2+ t+6），由PH∥OA，HF=d，OF=﹣ t2+ t+6﹣d，PH=t，OA=3，得到 ，列出方程即可解决问题．（3）首先求出直线AM的解析式，利用方程组求得点M的坐标，分两种情形讨论①如图3中，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MG，过点A作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，两直线交于点E，作GD⊥EM交EM的延长线于D．易知△AME≌△MGD，推出AE=DM=4，EM=DG=8，推出G（9，4），取线段AG的中点T（3，2），作直线MT交抛物线于N1 ， 此时∠AMN1=45°，求出直线MT的解析式利用方程组求出交点N的坐标．②设点G关于直线AM的对称点为G1 ， 则G1（1，﹣12），取AG1的中点T1 ， 作直线MT1交抛物线于N2 ， 则∠N2MA=45°，求出直线MT1的解析式，利用方程组即可求出点N1的坐标．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．