Question

16．观察下列等式：$\frac{1}{{1}^{2}+2×1}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{{2}^{2}+2×2}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$），$\frac{1}{{3}^{2}+2×3}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{{4}^{2}+2×4}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$），…
根据你得出的规律写出第n个等式为$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并根据该规律计算：$\frac{1}{{1}^{2}+2×1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+2×2}$+$\frac{1}{{3}^{2}+2×3}$+…+$\frac{1}{{8}^{2}+2×8}$=$\frac{29}{45}$．

Answer 1

分析 根据等式的左边分母是n²+2n，右边是$\frac{1}{2}$乘以$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$的差，再把式子展开，进行合并即可．

解答 解：第n个等式为$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
$\frac{1}{{1}^{2}+2×1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+2×2}$+$\frac{1}{{3}^{2}+2×3}$+…+$\frac{1}{{8}^{2}+2×8}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{10}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{10}$）
=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{116}{90}$
=$\frac{29}{45}$．
故答案为$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），$\frac{29}{45}$．

点评 本题考查了有理数的混合运算，本题是一个找规律的题目，找到第n个式子是解题的关键．