Question

已知AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，AH⊥CD于H．
（1）如图1，求证：OH平分∠AHC；
（2）如图2，连AC，BC，若AC=6，BC=4，求OH的长．

Answer 1

分析：（1）连接AC，BC，AD，OD，OC，先证明△ABC∽△ADH，可得∠HAD=∠CAB，继而得出∠HAC=∠DAB，由∠DAB=45°，判断△HAC是等腰直角三角形，继而证明△AOH≌△COH，根据对应角相等，得出结论；
（2）OH是等腰直角△HAC的直角角分线，在Rt△ABC中求出AB，得出OA，在Rt△AOM中求出OM，根据OH=MH-OM，可得出答案．

解答：解：连接AC，BC，AD，OD，OC，
在Rt△ABC和Rt△ADH中，∠ACB=∠AHD=90°，∠ABC=∠ADH（同弧所对圆周角相等），
∴△ABC∽△ADH，
∴∠HAD=∠CAB，
∴∠HAC=∠DAB，
又∵∠DAB=45°（OA，OB，OD是半径，D是半圆中点，△AOD是等腰直角三角形），
∴∠HAC=45°，
∴△HAC是等腰直角三角形，
∴HA=HC，
在△AOH和△COH中，

OA=OC OH=OH AH=CH

，
∴△AOH≌△COH（SSS），
∴∠AHO=∠CHO，
∴OH平分∠AHC．

（2）OH是等腰直角△HAC的直角角分线，
则OH垂直平分AC，交点标注为M，
则MA=MC=MH=

1

2

AC=3，
在Rt△ABC中AB=

AC2+BC2

=2

13

，
则OA=

13

，
在Rt△OMA中，OM=

OA2-MA2

=2，
∴OH=MH-OM=3-2=1．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了全等三角形的判定的与性质、勾股定理及圆周角定理，综合性较强，解答本题要求同学们具备扎实的基本功，能将所学知识融会贯通．