Question

17．新年在即，某超市为满足市场需求，购进一种品牌年糕，每盒进价是30元，超市规定每盒售价不得少于35元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒35元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种年糕的每盒售价不得高于50元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售年糕多少盒？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据题意可以得到P关于x的关系式，从而可以解答本题；
（3）根据题意，令利润等于6000，然后再根据P关于x的关系式，从而可以解答本题．

解答 解：（1）由题意可得，
y=700-20（x-35）=-20x+1400，
即每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是y=-20x+1400；
（2）由题意可得，
P=（x-30）（-20x+1400）=-20x²+2000x-42000=-20（x-50）²+8000，
∴当x=50时，P取得最大值，此时P=8000，
即当每盒售价定为50元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意可得，
（x-30）（-20x+1400）=6000，
解得，x₁=40，x₂=60
∵P=-20（x-50）²+8000，x≤50，
∴当40≤x≤50时，销售利润不低于6000元，
∴当x=50时，销售的盒数最少，此时盒数为：-20×50+1400=400（盒），
即如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售年糕400盒．

点评 本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．