Question

【题目】四边形 ABCD 中，∠A＝∠B= 90°，点 E 在边 AB 上，点 F 在 AD 的延长线上，且 点 E 与点 F 关于直线 CD 对称，过点 E 作 EG∥AF 交 CD 于点 G，连接 FG，DE．

（1）求证：四边形 DEGF 是菱形；

（2）若 AB＝10，AF＝BC=8，求四边形 DEGF 的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）20.

【解析】

（1）连接EF，由对称的性质可得DE＝DF，GE＝GF，求出∠EDG＝∠EGD，得到DE＝GE，进而得到DE＝DF＝GE＝GF即可；

（2）连接CF，CE，易证四边形ABCF是矩形，可得CE＝CF＝AB＝10，利用勾股定理求出BE，得到AE的长，DF＝DE＝x，则AD＝8－x，在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程求出DF即可解决问题．

解：（1）连接EF，

∵点E与点F关于直线 CD 对称，

∴CD是EF的垂直平分线，

∴DE＝DF，GE＝GF，∠EDG＝∠FDG，

∵EG∥AF，

∴∠FDG＝∠EGD，

∴∠EDG＝∠EGD，

∴DE＝GE，

∴DE＝DF＝GE＝GF，

∴四边形DEGF是菱形；

（2）连接CF，CE，

∵∠A＝∠B＝90°，

∴∠A＋∠B＝180°，

∴AF∥BC，

又∵AF＝BC＝8，

∴四边形ABCF是矩形，

∴CF＝AB＝10，

∵CD是EF的垂直平分线，

∴CE＝CF＝10，

∴BE＝，

∴AE＝10－6＝4，

设DF＝DE＝x，则AD＝8－x，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：，

解得：x＝5，即DF＝5，

∴四边形DEGF的面积＝DF·AE＝5×4＝20．