Question

如图，已知△ABC和△BDE都为等腰直角三角形，点E在AB上，点F为CD的中点，连接BF．
求证：（1）∠BCF=∠CBF；
     （2）AF⊥EF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质得出即可；
（2）根据AB=AC和BF=CF得出AF⊥BC，求出BD∥AF，根据线段垂直平分线性质求出EF⊥BD，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵△ABC和△BDE都为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠DBE=∠CBA=45°，
∴∠CBD=45°+45°=90°，
∵F为CD的中点，
∴BF=CF；

（2）∵AC=AB，BF=CF，
∴A和F都在BC的垂直平分线上，
∴AF⊥BC，
∵∠CBD=90°，
∴DB∥AF，
∵∠CBD=90°，F为CD的中点，
∴BF=DF=

1

2

CD，
∵BE=DE，
∴F和E都在BD的垂直平分线上，
∴EF⊥BD，
∵AF∥BD，
∴AF⊥EF．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，直角三角形斜边上中线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出AF⊥BC和EF⊥BD，题目比较好，难度适中．