Question

8．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别是边AB，AD上的点，且满足∠BCE=∠DCF，连结EF．
（1）若AF=1，求EF的长；
（2）取CE的中点M，连结BM，FM，BF．求证：BM⊥FM．

Answer 1

分析 （1）根据已知和菱形的性质证明△CBE≌△CDF，得到BE=DF，证明△AEF是等边三角形，求出EF的长；
（2）延长BM交DC于点N，连结FN，证明△CMN≌△EMB，得到NM=MB，证明△FDN≌△BEF，得到FN=FB，得到BM⊥MF．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=DC，∠D=∠CBE，
又∵∠BCE=∠DCF，
在△CBE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CBE}\\{∠BCE=∠DCF}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF．
又∵AB=AD，
∴AB-BE=AD-DF，即AE=AF，
又∵∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AF，
∵AF=1，
∴EF=1．
（2）证明：如图1，延长BM交DC于点N，连结FN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠NCM=∠BEM，∠CNM=∠EBM
∵点M是CE的中点，
∴CM=EM．
在△CMN与△EMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NCM=∠BEM}\\{∠CNM=∠EBM}\\{CM=EM}\end{array}\right.$，
∴△CMN≌△EMB，
∴NM=MB，CN=BE．
又∵AB=DC．
∴DC-CN=AB-BE，即DN=AE．
∵△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，EF=AE．
∴∠BEF=120°，EF=DN．
∵DC∥AB，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=60°，
∴∠D=120°，
∴∠D=∠BEF．
在△FDN与△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=EF}\\{∠D=∠BEF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△FDN≌△BEF，
∴FN=FB，
又∵NM=MB，
∴BM⊥MF

点评 本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．