Question

如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与A重合．
（1）只使用直尺和圆规，作出折痕EF，其与AD交于F，BC于E，并作出点D的对应点D′．
（2）连接AE、CF，猜想四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（3）当AB=12，AD=18时，求折痕EF长．

Answer 1

分析：（1）连接AC，作AC的垂直平分线，延长CD交垂直平分线于G，连接AG，在AG上截取AD′=CD即可；
（2）先证明△AOF≌△COE，得到AF∥CE，AF=CE，从而判断出四边形AECF为平行四边形，再根据AF=CF判断出四边形AECF为菱形．
（3）在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，从而在Rt△ABC中求出EO的长．

解答：解：（1）

（2）如图，∵∠AOF=∠COE，AO=CO，∠FAO=∠ECO，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE．
故AF∥CE，AF=CE，
所以四边形AECF为平行四边形，
又因为AF=CF，
所以四边形AECF为菱形．

（3）设BE=x，则EC=AE=18-x，
故在Rt△ABE中，（18-x）²=x²+12²，
解得，x=5．
∵菱形对角线互相平分，
∴AO=CO，
在Rt△ABC中，
AC=

122+182

=6

13

，
AO=3

13

，
EO²=AE²-AO²=13²-（3

13

）²=52，
∴EO=2

13

，
∴EF=4

13

．

点评：此题将翻折不变性、勾股定理、菱形的判定和性质及作图有机结合在一起，综合性较强，考查知识点全面，有一定难度．