Question

如图，直线y=-

1

2

x+2交x轴于A点，交y轴于B点．点P为双曲线y=

k

x

（x＞0）上一点，且PA=PB，∠APB=90°，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：根据图形首先得出△EPB≌△FPA（AAS），则PE=PF，进而利用勾股定理得出P点坐标，进而得出k的值．

解答：解：过点P作PE⊥y轴于点E，作PF⊥x轴于点F，
由题意得：∠PEO=∠EOA=∠OFP=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠EPB+∠BPF=90°，∠BPF+∠FPA=90°，
∴∠EPB=∠APF，
在△EPB和△FPA中，

∠PEB=∠PFA ∠EPB=∠APF PB=PA

，
∴△EPB≌△FPA（AAS），
∴PE=PF，
∵直线y=-

1

2

x+2交x轴于A点，交y轴于B点，
∴y=0时，x=4，x=0时，y=2，
∴A（4，0），B（0，2），
∴AB=

20

，
∴PA=PB=

10

，
设PF=a，则AF=4-a，
∴PA²=PF²+FA²，
∴（

10

）²=a²+（4-a）²，
解得：a₁=1，a₂=3，
当P点在第一象限则P点坐标为；（3，3），
当P点在第四象限则P点坐标为；（1，-1），
∴k的值为：k=3×3=9或k=1×（-1）=-1．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和反比例函数的性质等知识，根据题意得出P点横纵坐标关系是解题关键．