Question

如图（1）所示一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这纸片剪成△AB₁D₁和△CB₂D₂两个三角形如图（2），将△AB₁D₁沿直线AB₁方向平移在平移过程中，（点B₂始终在AB₁上，AB₁与CD₂始终保持平行）当点A与B₂重合时停止平移在平移过程中，AD₁与B₂D₂交于点E，B₂C与B₁D₁交于点F．

（1）当△AB₁D₁平移到图3时，试判断四边形B₂FD₁E是什么四边形并说明理由；
（2）设平移距离B₂B₁=x，四边形B₂FD₁E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求四边形B₂FD₁E的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）应该是矩形，首先我们知道D₁FB₂E应该是平行四边形，那么根据AB，AC，BD的长，我们可判断出三角形ABD和DBC都是直角三角形且∠ADB=∠CBD=90°，因此AD₁⊥D₁B₁，因此是矩形．
（2）要求解面积就要知道矩形的长和宽，我们可在直角三角形B₁B₂F中，用B₁B₂和∠B₁的正弦值求出B₂F，同理可用AB₂和∠A的正弦值求出B₂E，那么就能根据矩形的面积公式求出y，x的函数关系式了，然后根据函数的性质以及自变量的取值范围求出矩形的最大的面积．

解答：解：
（1）矩形．
证明：
∵AD₁∥B₂C，D₁B₁∥D₂B₂
∴四边形ED₁FB₂是平行四边形
在三角形ABD中AB=10，AD=6，BD=8
∴AB²=AD²+BD²
因此三角形ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∴∠AD₁B₁=90°
∴四边形ED₁FB₂是矩形．

（2）∵B₂B₁=x
∴AB₂=10-x
直角三角形B₁B₂F中，sin∠B₁=

AD

AB

=

3

5

，B₂B₁=x
∴B₂F=B₂B₁•sin∠B₁=

3

5

x
同理可得B₂E=8-

4

5

x
∴y=B₂F•B₂E=

3

5

x•（8-

4

5

x）
即：y=-

12

25

（x-5）²+12（0＜x＜10）
因此当x=5时，y_max=12
即矩形的最大的面积是12．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识点，根据原平行四边形对角线和两边长，得出平行四边形的对角线平分的两个三角形是直角三角形是解题的关键．