Question

【题目】如图，是圆的直径，是圆的切线，交圆于点，点是的中点，连接.

（1）求证：

（2）求证：四点共圆

（3）满足什么条件时，经过的圆与相切？并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见详解；（2）见详解；（3）等腰直角三角形.

【解析】

(1)连接AD,根据直径所对的圆周角是直角,可证得∠ADB=90°,再利用邻角互补的性质可得∠ADC=90°,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得AE=DE,由等边对等角可证得∠DAE=∠ADE,又由OA=OD,可得∠OAD=∠ODA,从而有∠OAD+∠DAE =∠ODA+∠ADE,再由切线的性质可得∠OAD+∠DAE =90°,从而结论得证;

(2)欲证四点共圆,只须证得四点到某一点的距离相等即可;

(3)由(1)可知AD⊥BC,所以要使经过的圆与相切,则AD必为直径,由(2)可知OE必为直径,从而易证四边形OAED为正方形,从而有DE∥AB,且DE=AB,所以D为BC的中点,而AD⊥BC,故可知为等腰直角三角形.

(1)

证明:如图所示,连接AD,

∵是圆的切线，

∴∠BAE=90°

∴∠BAD+∠DAE=90°,

∵是圆的直径，

∴∠ADB=∠ADC=90°.

∵点是的中点，

∴AE=DE.

∴∠DAE=∠ADE,

∴∠BAD+∠ADE =90°.

∵OD=OA,

∴∠BAD=∠ODA.

∴∠ODA+∠ADE =90°.

即∠ODE=90°.

∴.

(2)

证明:如图所示,连接OE,取OE的中点P,连接PA,PD.

由(1)可知∠OAE=ODE=90°,

∵点P是OE的中点,

∴PA=PO=PE=PD,

∴四点共圆.

(3) 当是等腰直角三角形时，经过的圆与相切.

理由如下:如图所示：

设⊙P为经过的圆.

∵是等腰直角三角形,

∴AB=AC,∠B=∠C=45°.

∵OB=OD,

∴∠B=∠ODB=45°.

∵O,E分别为AB,AC的中点，

∴OE∥BC.

∴∠POD=∠ODB=45°.

∵PO=PD，

∴∠PDO=∠POD=45°.

∴∠PDB=∠PDO+∠ODB =45°+45°=90°.

即PD⊥BC，

∴BC与圆P相切.

即当是等腰直角三角形时，经过的圆与相切.