Question

17．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-3，0），（0，4），点D在x轴正半轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c经过A、B两点，试判断点C是否在这条抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AB=5，由菱形的性质得出BC=AB=5，即可得出C（5，4）；
（2）由待定系数法求出抛物线的解析式，再代入计算，即可得出答案．

解答 解：（1）∵点A、B的坐标分别为（-3，0），（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∴C（5，4）；
（2）点C在这条抛物线上，理由如下：
把A（-3，0），B（0，4）代入抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}-3b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{6}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y═-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4，
∵当x=5时，y=-$\frac{1}{6}$×5²+$\frac{5}{6}$×5+4=4，
∴点C（5，4）在这条抛物线上．

点评 此题考查了菱形的性质、勾股定理以及待定系数法求二次函数的解析式．此题难度适中，求出二次函数解析式是解决问题（2）的关键．