如图.在平面直角坐标系xOy中.矩形OABC的边OA.OC分别在y轴和x轴的正半轴上.且长分别为1.4.D为边AB的中点.一抛物线l经过点A.D及点M．(1)把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处.DA′与OC交于H.求证:△OHD是等腰三角形．(2)求点A′的坐标,(3)求抛物线的解析式,(4)连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E.若抛物线与线段CE相交.求实数m的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为1、4，D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（-1，m）．
（1）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，DA′与OC交于H，求证：△OHD是等腰三角形．
（2）求点A′的坐标；
（3）求抛物线的解析式（用含m的式子表示）；
（4）连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线与线段CE相交，求实数m的取值范围．

分析（1）如图1，由折叠和矩形的对应边平行，得出∠DOH=∠ODH，所以△OHD是等腰三角形；
（2）如图2，作△OA′H的高线A′F，由折叠求出A′D=2，OA′=1，并由勾股定理求A′H和A′F的长，写出点A′的坐标；
（3）由矩形的边长写出A、D的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；
（4）如图2，根据平行线分线段成比例定理列式，求出CE的长，因为抛物线与线段CE相交，所以交点一定在线段CE上，则交点的横坐标一定为4，将x=4代入得：y=$\frac{8m-5}{3}$，且-3≤y≤0，代入列不等式组得出结论．

解答解：（1）如图1，由折叠得：∠ADO=∠ODH，
∵四边形ABCO为矩形，
∴AB∥OC，
∴∠ADO=∠DOH，
∴∠DOH=∠ODH，
∴△OHD是等腰三角形；
（2）如图2，过A′作A′F⊥x轴于F，
由折叠得：A′D=AD=$\frac{1}{2}$AB=2，OA′=OA=1，∠OA′H=90°，
设A′H=x，则DH=OH=2-x，
由勾股定理得：1²+x²=（2-x）²，
x=$\frac{3}{4}$，即A′H=$\frac{3}{4}$，
∴DH=OH=2-$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴S_△A′OH=$\frac{1}{2}$OA′•A′H=$\frac{1}{2}$OH•A′F，
∴1×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$×A′F，
∴A′F=$\frac{3}{5}$，
由勾股定理得：OF=$\sqrt{OA{′}^{2}-A′{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴A′（$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{5}$），
（3）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
把A（0，1）、D（2，1）、M（-1，m）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{4a+2b+c=1}\\{a-b+c=m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{m-1}{3}}\\{b=\frac{2-2m}{3}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{（m-1）{x}^{2}}{3}$+$\frac{（2-2m）x}{3}$+1，
（4）∵A′F∥BE，
∴$\frac{A′F}{CE}=\frac{OF}{OC}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}}{CE}=\frac{\frac{4}{5}}{4}$，
∴CE=3，
∴E（4，-3），
当x=4时，y=$\frac{16（m-1）}{3}$+$\frac{4（2-2m）}{3}$+1，
y=$\frac{8m-5}{3}$，
∵-3≤y≤0，
∴-3≤$\frac{8m-5}{3}$≤0，
∴-$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{5}{8}$．

点评本题是二次函数与几何变换的综合题，考查了折叠、矩形、等腰三角形的性质，与函数相结合；增大的难度，运用的知识点也较多；此类题常运用的思路为：①与折叠相结合，设未知数，利用勾股定理列方程，求三角形的边长；②利用面积法求某一边或高线；③将图象上的点代入解析式中列方程组求字母系数．

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