Question

【题目】如图，在直角坐标系中，抛物线与y轴交于点D（0，3）．

（1）直接写出c的值；

（2）若抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右边），顶点为C点，求直线BC的解析式；

（3）已知点P是直线BC上一个动点，

①当点P在线段BC上运动时（点P不与B、C重合），过点P作PE⊥y轴，垂足为E，连结BE．设点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；

②试探索：在直线BC上是否存在着点P，使得以点P为圆心，半径为r的⊙P，既与抛物线的对称轴相切，又与以点C为圆心，半径为1的⊙C相切？如果存在，试求r的值，并直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）c=3；（2）；（3）①S=-x2+3x=-(x-)2+（1<x<3）；当x=时，S取得最大值，最大值为；②存在点P1（），或P2（），此时r1=；点P3（），或P4（），此时r2=，理由见解析．

【解析】

（1）将点D（0，3）直接代入解析式即可；

（2）先求出顶点C坐标为（1，4），以及与x轴的交点坐标，即令y=0时，得到点B（3,0）代入一次函数解析式即可求得答案；

（3）根据S=PE·OE，利用P点在线段BC上，可表示出PE，OE，得到S=，变形为顶点式后求出最大值即可．第②小问，根据两圆内切与外切进行分类讨论，分别用r表示出CQ，PQ，CP的长度，再利用勾股定理即可求出r长度和P点坐标．

解：（1）∵将D（0，3）代入解析式

∴c=3

（2）由（1）知抛物线为：

y=-x2+2x+3，配方得y=-（x-1）2+4

∴顶点C坐标为（1，4）

令y=0，得x1=-1，x2=3

∴ B（3，0）

设直线BC解析式为：（），把B、C两点坐标代入，

得解得．

∴直线BC解析式为

（3）①∵点P（x，y）在的图象上，

∴PE=x，OE=-2x+6

∴s=PE·OE=

∴

．

∵x=符合1<x<3，

∴当x=时，S取得最大值，最大值为．

②答：存在．

如图，设抛物线的对称轴交x轴于点F，则CF=4，BF=2

过P作PQ⊥CF于Q，则Rt△CPQ∽Rt△CBF

∴，即

∴CQ=2r

当⊙P与⊙C外切时，CP=r+1

∵CQ2+PQ2=CP2

∴（2r）2+r2=（r+1）2

解得r=(r=舍去）

此时P1（），或P2（）

当⊙P与⊙C内切时，CP=r-1．

∵CQ2+PQ2=CP2

∴（2r）2+r2=（r-1）2

解得r=（r= 舍去）

此时P3（），或P4（）．

∴当r1=, r2=时，⊙P与⊙C相切．

点P的坐标为P1（），或P2（），

P3（），或P4（）．