Question

18．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动，设运动时间为t秒．
（1）△ODP的面积S=10．
（2）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（3）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若△OPD为等腰三角形，请写出所有满足条件的点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式即可求出△ODP的面积S；
（2）由于PB∥OD，根据平行四边形的判定可知当PB=OD=5时，四边形PODB是平行四边形，再求出PC=5，从而求出t的值；
（3）根据菱形的判定，当OD=OP=PQ=5时，ODQP为菱形，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出CP的值，进而求出t的值及Q点的坐标；
（4）当△OPD为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①如果O为顶点，那么OP=OD=5；②如果P为顶点，那么PO=PD；③如果D为顶点，那么DP=DO=5．

解答 解：（1）∵O为坐标原点，A（10，0），四边形OABC为矩形，C（0，4），
∴OA=BC=10，OC=4，
∵点D是OA中点，
∴OD=DA=$\frac{1}{2}$OA=5，
∴△ODP的面积S=$\frac{1}{2}$OD•OC=$\frac{1}{2}$×5×4=10．
故答案为10；

（2）∵PB∥OD，
∴当PB=OD时，四边形PODB是平行四边形，
∵OD=5，
∴PB=5，
∴PC=BC-PB=10-5=5，
∵点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动，
∴t=5；

（3）当OD=OP=PQ=5时，ODQP为菱形，
在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴t=3，CQ=CP+PQ=3+5=8，
∴Q点的坐标为（8，4）；

（4）△OPD为等腰三角形时，分三种情况：
①如果O为顶点，那么OP=OD=5，
由勾股定理可以求得PC=3，此时P₁（3，4）；
②如果P为顶点，那么PO=PD，
作PE⊥OA于E，则OE=ED=2.5，此时P₂（2.5，4）；
③如果D为顶点，那么DP=DO=5，
作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF=3，
∴P₃C=5-3=2或P₄C=5+3=8，此时P₃（2，4），P₄（8，4）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P₁（3，4），P₂（2.5，4），P₃（2，4），P₄（8，4）．

点评 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．