Question

9．如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．
（1）当t=1（s）时，⊙O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为6；
（2）当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切；
（3）当△ABC的一边所在直线与圆O相切时，若⊙O与△ABC有重叠部分，求重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）求出路程EC的长，即可以求时间t=1，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF=6；
（2）根据C到AB的距离为6cm，圆的半径为6cm，所以O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，t=8÷2=4秒；
（3）有两种情况：
①当半圆O与AB边相切于F时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积的一半；
②当半圆O与AC相切于C时，如图4，连接OG，重叠部分的面积是扇形OCG的面积+△BOG的面积．

解答 解：（1）∵DE=12，
∴OE=OD=6，
∵OC=8，
∴EC=8-6=2，
∴t=2÷2=1，
∴当t=1s时，⊙O与AC所在直线第一次相切；
如图1，过C作CF⊥AB于F，
Rt△BCF中，∵∠ABC=30°，BC=12，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=6，
故答案为：1，6；
（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，
同理得：OF=6，
当直线AB与半圆O所在的圆相切时，
又∵圆心O到AB的距离为6，半圆的半径为6，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，
此时，点O运动了8cm，所求运动时间t=8÷2=4；
如图3，当点O运动到B点的右侧时，且OB=12，过O作OQ⊥AB，交直线AB于Q，
在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=$\frac{1}{2}$OB=6，
即OQ与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了12+12+8=32cm，
所求运动时间t=32÷2=16，
综上所述，当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切；
（3）有两种情况：
①当半圆O与AB边相切于F时，如图2，
重叠部分的面积S=$\frac{1}{4}$π×6²=9π；
②当半圆O与AC相切于C时，如图4，连接OG，
∵BC=DE=12，
∴C与D重合，E与B重合，
∵OG=OB，
∴∠ABC=∠OGB=30°，
∴∠COG=60°，
过O作OH⊥AB于H，
∵OB=6，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=3，
由勾股定理得：BH=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BG=2BH=6$\sqrt{3}$，
此时重叠部分的面积S=$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×$6\sqrt{3}$×3=6π+9$\sqrt{3}$；
综上所述，重叠部分的面积为9πcm²或（6π+9$\sqrt{3}$）cm²．

点评 本题考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；本题有难度，尤其是第3问，容易漏解，要注意利用数形结合的思想．