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11.如图,△ABC与△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,∠DAE=90°,AD=AE,点B、C、E在一直线上,
(1)求证:BE=CD;
(2)过点D作BC的平行线,过点B作CD的平行线,两线相交于点F,判断四边形BCDF的形状,并证明.

分析 (1)证出∠BAE=∠CAD,由SAS证明△BAE≌△CAD,得出对应边相等即可;
(2)先证明四边形BCDF是平行四边形,再由全等三角形的性质得出∠ACD=∠ABE=45°,证出∠BCD=∠ACB+ACD=90°,即可得出四边形BCDF是矩形.

解答 (1)证明:∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD,
在△BAE与△CAD中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAE=∠CAD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴BE=CD;

(2)解:四边形BCDF是矩形;理由如下:
∵DF∥BC,BF∥CD,
∴四边形BCDF是平行四边形,
由(1)得:△BAE≌△CAD,
∴∠ACD=∠ABE=45°,
∴∠BCD=∠ACB+ACD=45°+45°=90°,
∴四边形BCDF是矩形.

点评 本题考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定;熟练掌握等腰直角三角形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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(1)如图1,E是AC的中点,连接DE,将△CDE沿CD翻折到△CDE′,连接AE′,当AD=2$\sqrt{6}$时,求AE的值
(2)使得CE=$\frac{1}{3}$AC,连接DE,将△CDE沿CD翻折到△CDE′,接AE′交BC于点F,求证:DF=CF.

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2.计算
(1)$\left\{\begin{array}{l}{x+y=10}\\{2x-y=20}\end{array}\right.$        
(2)$\sqrt{2\frac{1}{4}}$+$\root{3}{3\frac{3}{8}}$+|3-π|

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19.下列说法正确的是(  )
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A.1个B.2个C.3个D.4个

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6.完成下面推理过程:
如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1=∠2(已知),
且∠1=∠CGD(对顶角相等),
∴∠2=∠CG(等量代换),
∴CE∥BF(同位角相等,两直线平行),
∴∠BFD=∠C  两直线平行,同位角相等;
又∵∠B=∠C(已知),
∴∠BFD=∠B,
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).

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16.为了保护生态平衡,绿化环境,国家大力鼓励“退耕还林还草”,其补偿政策如表1.
种树、种草每亩每年补粮\补钱情况表(表1)
种树种草
补粮150千克100千克
补钱200元150元
某农户积极响应国家号召,承包了一片山坡地种树、种草,所得到国家补偿如表2.
种树、种草亩数及补偿通知单(表2)
种树、种草补粮补钱
30亩4000千克5500元
问该农户种树、种草各多少亩?

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3.定义符号min{a,b}的含义为:当a≥b时,min{a,b}=b;当a<b时,min{a,b}=a.如:min={1,-2}=-2,min{-1,2}=-1.则min{x2-1,-2}的值是(  )
A.x2-1B.2C.-1D.-2

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20.计算
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A.5B.3C.1D.0

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