Question

15．△ABC中，∠ACB的平分线与∠ABC的平分线交于点P，过P作直线DE∥BC，交直线AC于E，交直线AB于D．
（1）如图1，CE、BD、DE三条线段长有怎样的关系，证明你的结论；
（2）若将∠ACB的平分线改为∠ACB的外角平分线，其它条件不变，如图2，画出图形，写出CE、BD、OE三条线段长之间的关系，并证明你的结论；
（3）若CP，BP均为∠ACB、∠ABC的外角平分线，其它条件不变，如图3，画出图形，并直接写出CE、BD、DE三条线段长之间的关系为DE=BD+CE．

Answer 1

分析 （1）利用CP是∠ACB的平分线，得出∠ACP=∠BCP，又由于DE∥BC，得出∠CPE=∠FCP，即∠ACP=∠CPE，进而得出EP=EC，同理得出DP=DB，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）（2）的方法即可得出结论．

解答 解（1）结论：DE=CE+BD；理由如下：
如图1，∵CP是∠ACB的平分线，
∴∠ACP=∠BCP，
∵DE∥BC，
∴∠CPE=∠BCP，
∴∠ACP=∠CPE，
∴EP=EC，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠CBP，
∵DE∥BC，
∴∠DPB=∠CBP，
∴∠ABP=∠DPB，
∴DP=DB，
∴DE=EP+DP=EC+DB，
即：DE=CE+BD；
（2）补全图形如图2，
结论：DE=BD-CE，理由如下：
∵CP是∠ACB的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACP=∠FCP，
∵DE∥BC，
∴∠CPE=∠FCP，
∴∠ACP=∠CPE，
∴EP=EC，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠CBP，
∵DE∥BC，
∴∠DPB=∠CBP，
∴∠ABP=∠DPB，
∴DP=DB，
∴DE=DP-PE=DB-CE
即：DE=BD-CE；
（3）补全图形如图3，
结论：DE=BD+CE，理由如下：
∵CP是∠ACB的外角∠BCE的平分线，
∴∠BCP=∠ECP，
∵DE∥BC，
∴∠CPE=∠BCP，
∴∠ECP=∠CPE，
∴EP=EC，
∵BP是∠ABC的外角∠CBD的平分线，
∴∠DBP=∠CBP，
∵DE∥BC，
∴∠DPB=∠CBP，
∴∠DBP=∠DPB，
∴DP=DB，
∴DE=DP+PE=DB+CE．
故答案为：DE=BD+CE．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了角的平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；判断出DP=BD和EP=CE是解本题关键．