Question

19．（1）如图1，已知AD=BC，AC=BD．求证：△ADB≌△BCA．
（2）如图2，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至点C，使AC=3BC，CD与⊙O相切于点D，若CD=$\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定即求证；
（2）连接OD，利用AC=3BC可知OB=$\frac{1}{2}$OC，在Rt△ODC中，cos∠DOC=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$，从而可知∠DOC=60°，∠AOD=120°，在Rt△POC中，利用勾股定理即可求出OD的长度．

解答 解：在△ADB与△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{AB=BA}\\{BD=AC}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△BCA（SSS）

（2）连接OD，
∵CD与⊙O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∵AC=3BC，AB=2OB，
∴OB=BC，
∴OB=$\frac{1}{2}$OC
又OB=OD，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC
在Rt△ODC，
cos∠DOC=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DOC=60°，
∴∠AOD=120°
在Rt△POC中，
由勾股定理可知：OD²+DC²=OC²，
∵CD=$\sqrt{3}$，
∴OD²+3=4OD²，
∴OD=1

点评 本题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的判定，勾股定理，切线的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．