Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，连接BB₁，设CB₁交AB于D，A_lB₁分别交AB，AC于E，F．
（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，除了△ABC≌△A₁B₁C，还有其他三对全等的三角形，请你全部写出来（不用证明）；
（2）当BB₁=BD时，求α度数；
（3）设BD=x，△ACD的面积为y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据旋转的性质∠α=∠ACA₁，又由A₁C=B₁C，∠A₁=∠ABC=45°我们可得出三角形A₁FC和CBD全等．
三角形ACD和三角形B₁CF中，B₁C=BC=AC，∠A=∠CB₁F，又有一公共角因此构成了两三角形全等中的ASA，两三角形就全等了．
三角形AFE和B₁DE中，已知的有∠A=∠CB₁F=45°，一组对顶角相等，那么只要得出一组对应边相等即可得出全等的结论．
由上面的△ACD≌△B₁CF可得出CF=CD，因为AC=B₁C，那么AF=B₁D因此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形全等．
（2）BB₁=BD我们可得出∠BB₁D=∠BDB₁，根据旋转的性质我们知道CB₁=CB，那么∠B₁BC=∠BB₁C，∵∠B1DB=∠α+45°，
∠B₁BC=∠B₁BD+45°，∠B₁BC=∠BB₁C，因此∠B₁BD=∠α，三角形B₁BD中，
由三角形ACB是等腰直角三角形我们可得出，∠ABC=45°，因此∠B₁DB=∠B₁DB=∠α+45°，因此∠α+∠α+45+∠α+45=180，
∠α=30°
（3）可通过构建直角三角形来求解，作CM⊥AB，垂足为M，直角三角形ABC中，有直角边的值我们不难求出斜边AB的长，有了AB的值，我们就能用x表示出AD的长，现在的关键是找出AD边上的高CM的值．直角三角形ACM中，∠A=45°，有斜边AC的长，AD的高就可以求出了，那么根据三角形的面积公式，我们就能写出关于x，y的函数关系式了．
解答：解：（1）△DBC≌△FA₁C，△ACD≌△B₁CF，△AFE≌△B₁DE；

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵BB₁=BD，
∴∠BDB₁=∠BB₁D，
∵CB=CB₁，
∴∠CBB₁=∠CB₁B，
又∵∠BDB₁=∠DCB+∠DBC=α+45°，
∴∠CBB₁=∠CB₁B=∠BDB₁=α+45°，
又∵∠CBB₁+∠CB₁B+∠B₁CB=180°，
∴3α+90°=180°，
∴α=30°；

（3）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴，
作CM⊥AB，垂足为M，
则AM=BM，
∴CM==，
∵BD=x，
∴AD=AB-BD=，
∴△ACD的面积y=
=
=
∴y与x的函数关系式为y=．
点评：本题考查的是全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识点．本题中旋转的性质的利用可以帮我们得出很多关于全等三角形的判定的条件．