Question

【题目】如图，△ABC是一块直角三角框，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角框内部，将圆形纸片沿着三角框的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，则圆心O运动的路径长为_____．

Answer 1

【答案】15+

【解析】分析：添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为，先求出的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1，四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，四边形OECF为正方形，得出 从而知 利用相似三角形的性质即可得出答案．

详解：如图,圆心O的运动路径长为，

过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D. F.G，

过点O作OE⊥BC,垂足为点E,连接O2B，

过点O2作O2H⊥AB,O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，

在Rt△ABC中,

∴

∴

∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，

∴D、G为切点，

∴BD=BG，

在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，

∵

∴△O1BD≌△O1BG(HL)，

∴

在Rt△O1BD中,

∴

∴

∵O1D=OE=2,O1D⊥BC，OE⊥BC，

∴O1D∥OE,且O1D=OE，

∴四边形OEDO1为平行四边形，

∵

∴四边形OEDO1为矩形，

同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，

又OE=OF，

∴四边形OECF为正方形，

∵

∴

又∵

∴

同理,

∴△OO1O2∽△CBA，

∴ 即

∴ 即圆心O运动的路径长为.

故答案为：