解:(1)c=3.
(2)由(1)知抛物线为:y=-x
2+2x+3,配方得y=-(x-1)
2+4
∴顶点C坐标为(1,4)
令y=0得x
1=-1,x
2=3,
∴B(3,0)
设直线BC解析式为:y=kx+b(k≠0),把B、C两点坐标代入,
得
,
解得:k=-2,b=6,
∴直线BC解析式为:y=-2x+6,
(3)①∵点P(x,y)在y=-2x+6的图象上,
∴PE=x,OE=-2x+6
∴
PE•OE=
∴s=-x
2+3x (1<x<3),
s=-(x
2-3x+
)+
=-(x-
)
2+
.
∵
符合1<x<3,
∴当
时,s取得最大值,最大值为
.
②答:存在.
如图,设抛物线的对称轴交x轴于点F,则CF=4,BF=2.
过P作PQ⊥CF于Q,则Rt△CPQ∽Rt△CBF
∴
,
∴CQ=2r,
当⊙P与⊙C外切时,CP=r+1.
∵CQ
2+PQ
2=CP
2,
∴(2r)
2+r
2=(r+1)
2解得
舍去).
此时
.
当⊙P与⊙C内切时,CP=r-1.
∵CQ
2+PQ
2=CP
2,
∴(2r)
2+r
2=(r-1)
2.
解得
舍去).
此时
.
∴当⊙P与⊙C相切时.
点P的坐标为
,
.
(点P的坐标只写1个不得分,写出2个或3个得,写出4个得2分)
分析:(1)将D(0,3),直接代入解析式求出即可;
(2)分别求出顶点C坐标为(1,4)以及令y=0得x
1=-1,x
2=3得出B(3,0),代入一次函数解析式即可得出直线BC的解析式;
(3)根据
PE•OE=
,求出s最大值即可,再根据当⊙P与⊙C外切时,以及当⊙P与⊙C内切时,分别得出P点的坐标.
点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及直线解析式的求法,根据圆与圆的相切时分类讨论,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.