Question

【题目】如图，AB是半⊙O的直径，点C，D为半圆O上的点，AE||OD，过点D的⊙O的切线交AC的延长线于点E，M为弦AC中点

（1）填空：四边形ODEM的形状是　 　；

（2）①若，则当k为多少时，四边形AODC为菱形，请说明理由；

②当四边形AODC为菱形时，若四边形ODEM的面积为4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）四边形AODC为菱形，见解析；（2）①当k为1时，四边形AODC为菱形．理由见解析；②⊙O的半径为2．

【解析】

（1）运用切线定理、垂径定理、平行线的性质证明四个角均为90°，即可说明四边形ODEM为矩形；

（2）①当k为1时，四边形AODC为菱形．连接CD，CO．由四边形AODC为菱形，可得AO＝OD＝CD＝AC，由OM垂直平分AC，得到OA＝OC，所以OA＝OC＝AC，因此△OAC为等边三角形，于是∠CAO＝60°，∠CDO＝60°，∠ECD＝30°，

所以CE＝CD＝AC，又CM＝AC，因此CE＝CM，即

＝1，所以当k为1时，四边形AODC为菱形；

②由四边形ODEM的面积为4，可知ODMO＝43，由①四边形AODC为菱形时，∠MAO＝60°，所以＝sin∠MAO＝sin60°，MO＝AOsin60°＝AO，因此ODMO＝OA

OA＝4，所以OA＝2.

（1）∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE，∠ODE＝90°，

∵M为弦AC中点，

∴OM⊥AC，∠OME＝90°，

∵AE||OD，

∴∠E＝90°，∠MOD＝90°，

∴四边形ODEM是矩形；

（2）①当k为1时，四边形AODC为菱形．

理由如下：

连接CD，CO．

∵四边形AODC为菱形，

∴AO＝OD＝CD＝AC，

∵OM垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∴OA＝OC＝AC，

∴△OAC为等边三角形，

∴∠CAO＝60°，∠CDO＝60°，

∴∠ECD＝30°，

∴CE＝CD＝AC，

∵CM＝AC，

∴CE＝CM，

∴ ，

当k为1时，四边形AODC为菱形；

②∵四边形ODEM的面积为 ，

∴ODMO＝，

由①四边形AODC为菱形时，∠MAO＝60°，

∴ ，MO＝AOsin60°＝AO，

∴ODMO＝ ，

∴OA＝2，

∴⊙O的半径为2．