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    已知菱形ABCD的边长为1．∠EAF=∠ADC=60°，∠EAF的两边分别交边DC、CB于点E、F．当∠EAF绕点A旋转时，点E、F始终分别在边DC、CB上移动．
    （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为△AEF的外心；
    （2）记△AEF的外心为点P．
    ①如图2．求证：△AEF为等边三角形；
    ②猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
    （3）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，当MN⊥AD于M时，
    1
    DM
    +
    1
    DN
    的值为
    2
    2
    ．
    分析：（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=CO，DO=BO，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；
    （2）①连接AC，过点A分别作AG⊥CD于G，AH⊥CB于H，然后求证△AGE≌△AHF，求出∠EAF=60°，进而求证AE=AF，即△AEF为等边三角形；
    ②首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
    （3）当AE⊥DC时，△AEF的边长最短，因而面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可
    1
    DM
    +
    1
    DN
    的值为2．
    解答：解：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AO=CO，DO=BO，
    ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
    ∠ADO=
    1
    2
    ∠ADC=
    1
    2
    ×60°=30°，
    又∵E、F分别为DC、CB中点，
    ∴OE=
    1
    2
    CD，OF=
    1
    2
    BC，AO=
    1
    2
    AD，
    ∴0E=OF=OA，
    ∴点O即为△AEF的外心；

    （2）①证明：如图2，连接AC，过点A分别作AG⊥CD于G，AH⊥CB于H，
    ∵AC是菱形ABCD的对角线，AG⊥CD，AH⊥CB
    ∴AH=AG，
    ∵∠ADC=60°，
    ∴∠DCB=120°，
    又∵AG⊥DC，AH⊥BC
    ∴∠GAH=60°，
    又∵∠EAF=60°，
    ∴∠EAG=∠FAH
    又∵AG=AH，∠AGE=∠AHF
    ∴△AGE≌△AHF，
    ∴AE=AF，
    又∠EAF=60°，
    ∴△AEF为等边三角形；

    ②猜想：外心P一定落在直线DB上．
    证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
    ∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
    ∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
    ∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
    ∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
    ∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ
    ∴点P在∠ADC的平分线上，
    即点P落在直线DB上．

    （3）当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
    此时点E、F分别为DC、CB中点．
    连接BD、AC交于点P，由（1）
    可得点P即为△AEF的外心．
    如图3．设MN交BC于点G，
    设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y-1，
    ∵BC∥DA，
    ∴△GBP≌△MDP．
    ∴BG=DM=x．
    ∴CG=1-x
    ∵BC∥DA，
    ∴△NCG∽△NDM，
    ∴
    CN
    DN
    =
    CG
    DM
    ，
    ∴
    y-1
    y
    =
    1-x
    x
    ，
    ∴x+y=2xy，
    ∴
    1
    x
    +
    1
    y
    =2，
    即
    1
    DM
    +
    1
    DN
    的值为2．
    故答案是：2．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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    （2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；
    （3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．

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