Question

13．已知，如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，若BE=2，AE=6，则半径是2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过O作OF⊥AB，OG⊥CD，连接OD，由垂径定理得到F为AB的中点，G为CD的中点，由CE+ED求出CD的长，进而求出CG与GD的长，利用三个角为直角的四边形为矩形得到OGEF为矩形，再由弦相等得到弦心距相等即OF=OG，得到四边形OGEF为正方形，即OG=EG，由CG-CE求出EG的长，即为OG的长，在直角三角形ODG中，利用勾股定理即可求出OD的长．

解答 解：过O作OF⊥AB，OG⊥CD，连接OA，
由垂径定理得到F为AB的中点，G为CD的中点，BE=2，AE=6，
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$（AE+BE）=4，CG=DG，
∵∠OFE=∠FEG=∠OGE=90°，
∴四边形OGEF为矩形，
又∵AB=CD，
∴OG=OF，
∴四边形OGEF为正方形，
∴OF=EF=BF-BE=4-2=2，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：OA=$\sqrt{O{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案为2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，矩形、正方形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．