Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM．
（1）求直线AC的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿折线ABC的方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）动点P从点A出发，沿线段AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当∠MPB与∠BCO互为余角时，试确定t的值．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥x轴，垂足为E，根据勾股定理求出OA的长，根据菱形的性质可得出C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）先求出OM的长，再分点P在AB边上运动与点P在BC边上运动两种情况进行分类讨论；
（3）先根据菱形的性质及三角形内角和定理得出∠MPB=∠ABM，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
∵A（-3，4），
∴AE=4，OE=3，
∴OA=$\sqrt{{AE}^{2}+{OE}^{2}}$=5．
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=CB=BA=OA=5，
∴C（5，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（-3，4），C（5，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}-3k+b=4\\ 5k+b=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$．

（2）由（1）得点M的坐标为（0，$\frac{5}{2}$），
∴OM=$\frac{5}{2}$．
如图1，当点P在AB边上运动时．
由题意得OH=4，
∴HM=$\frac{3}{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$BP•MH=$\frac{1}{2}$（5-2t）×$\frac{3}{2}$
∴S=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{15}{4}$（0≤t＜$\frac{5}{2}$）．
如图2，当点P在BC边上运动时．
∵∠OCM=∠BCM，OC=BC，MC=MC．
∴△MOC≌△MBC．
∴BM=OM=$\frac{5}{2}$，∠MBC=∠MOC=90°．
∴S=$\frac{1}{2}$BP•BM=$\frac{1}{2}$（2t-5）×$\frac{5}{2}$
∴S=$\frac{5}{2}$t-$\frac{25}{4}$（$\frac{5}{2}$＜t≤5）；

（3）∵∠AOC=∠ABC，∠MOC=∠MBC，
∴∠AOM=∠ABM．
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOM=90°．
∴∠MPB=∠AOM，
∴∠MPB=∠ABM．
如图3，当点P在AB边上运动时．
∵∠MPB=∠ABM，
∴PM=BM．
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=5-3=2，
∴PA=3-2=1．
∴t=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、菱形的性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．