Question

如图，已知：⊙O中AB是直径，点P在AB上，PB平分∠CPD，求证：PC=PD．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过O作OE⊥PC于E，过O作OF⊥PD于F，可得：∠PEO=∠PFO=90°，然后由角平分线的定义可得：∠EPO=∠FPO，然后由AAS可证△OPF≌△OPE，进而可得：OE=OF，PE=PF，然后根据垂径定理可得：EC=FD，然后根据线段的和差，即可得证PC=PD．

解答：证明：过O作OE⊥PC于E，过O作OF⊥PD于F，

则∠PEO=∠PFO=90°，
∵PB平分∠CPD
∴∠EPO=∠FPO，
在△OPF和△OPE中，
∵

∠PEO=∠PFO ∠EPO=∠FPO PO=PO

，
∴△OPF≌△OPE
∴OE=OF，PE=PF，
由垂径定理得：EC=FD，
∵PC=PE+EC，PD=PF+FD，
∴PC=PD．

点评：此题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形全等的判定与性质及垂径定理，解题的关键是：由三角形全等证明弦心距相等，进而得到EC=FD．