Question

（2004•烟台）已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，
（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；
（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；
（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．
请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，根据等腰三角形的性质，得BD=CD=2，再根据割线定理即可求得CE的长；
（2）根据（1）中等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（3）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC=2∠CBE．
解答：解：（1）连接AD．
∵AB为直径，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=CD．
又CD=2，
∴BD=2．
由CE•CA=CD•CB，得
6•CE=2•（2+2），
∴CE=．

（2）∠BAD与∠CBE的关系是：∠BAC=2∠CBE．理由如下：
由（1），得AD⊥BC．
又AB=AC，
∴∠1=∠2．
又∠2=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．

（3）相同．理由如下：
连接AD．
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵∠CAD是圆内接四边形AEBD的外角，
∴∠2=∠CBE，
∴∠CAB=2∠CBE．
点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质．