Question

24、正方形ABCD和正方形CEFG，M为AF的中点，连接MD、ME．
（1）如图，B、C、G依次在同一条直线上，求证：△MDE等腰直角三角形；

（2）如图，正方形CEFG绕顶点C旋转45°，使B、C、F依次在同一条直线上，则△MDE的形状是

等腰直角三角形

；

（3）如图，将正方形CEFG任意旋转，设∠DCE=α°，猜想△MDE的形状，写出你的结论并给予证明．

Answer 1

分析：本题是变式拓展题，关键是掌握（1）的证明方法．
延长DM交EF于H点，可以构造△MAD≌△MFH；△DEH为等腰直角三角形，EM为中线，从而可证：△MDE等腰直角三角形；
（2）（3）图形发生了变化，证明方法类似．

解答：解：（1）延长DM交EF于H点

∵正方形ABCD和正方形CEFG，M为AF的中点，
∴∠DAM=∠HFM，AF=MF，∠AMD=∠FMH．
∴△MAD≌△MFH．
∴DM=MH，AD=FH．
∴ED=EH，△DEH为等腰直角三角形，
∴△MDE为等腰直角三角形；

（2）△MDE为等腰直角三角形．

（3）如图，延长DM到H使DM=MH，连接EH，延长FH于DC的延长线交于点N．
易证△ADM≌△FHM，∴AD=FH=CD．
∵∠DCE+∠NCG=90°，∠EFH+∠NFG=90°，
∴∠DCE=∠EFH．
∴△DCE≌△FHE．
∴DE=EH，∠DEC=∠FEH，∠DEH=90°．
∵DM=EM，
∴△MDE为等腰直角三角形．

点评：在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．