Question

【题目】在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，AB＝CF．

(1)如图1，求证：DF＝DB；

(2)如图2，若AF＝DF，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请写出图中所有度数与3∠FAE的度数相等的角．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)∠CAB，∠ABC，∠DFC，∠AFE与3∠FAE的度数相等，理由见解析.

【解析】

（1）由余角的性质可得∠DAB=∠DCE，由“AAS”可证△ADB≌△CDF，可得DF=BD；

（2）由等腰三角形的性质可求∠DFB=∠DBF=45°，即可求∠ABD=∠DBF+∠ABF=67.5°，由全等三角形的性质可得∠CAB=∠DCF=∠ABD=∠AFE=67.5°=3∠FAE．

(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB

∴∠B+∠DAB＝90°，∠B+∠DCE＝90°

∴∠DAB＝∠DCE，且∠ADB＝∠ADC＝90°，CF＝AB

∴△ADB≌△CDF(AAS)

∴DF＝BD

(2)∠CAB，∠ABC，∠DFC，∠AFE与3∠FAE的度数相等，

理由如下：如图：连接BF，

∵DF＝DB，∠ADB＝90°

∴∠DFB＝∠DBF＝45°，BF＝DF，且AF＝DF

∴AF＝BF

∴∠FAE＝∠FBE

∴∠DFB＝2∠FAE＝2∠ABF＝45°

∴∠FAE＝∠FBE＝22.5°

∴∠ABD＝∠DBF+∠ABF＝67.5°

∴∠ABD＝3∠FAE

∵△ADB≌△CDF

∴∠DCF＝∠ABD＝∠AFE＝67.5°＝3∠FAE，

AD＝CD

∴∠DAC＝∠DCA＝45°

∴∠CAB＝67.5°＝3∠FAE