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精英家教网如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于点Q.
问:是否存在点P,使得QP=QO;
 
(用“存在”或“不存在”填空).若存在,满足上述条件的点有几个?并求出相应的∠OCP的大小;若不存在,请简要说明理由:
 
分析:点P是直线l上的一个动点,因而点P与线段AO有三种位置关系,在线段AO上,点P在OB上,点P在OA的延长线上.分这三种情况进行讨论即可.
解答:精英家教网解:①根据题意,画出图(1),
在△QOC中,OC=OQ,
∴∠OQC=∠OCQ,
在△OPQ中,QP=QO,
∴∠QOP=∠QPO,
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC,∠AOC=30°,
∴∠QPO=∠OCQ+30°,
在△OPQ中,∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°,
即∠OCQ+30°+∠OCQ+30°+∠OCQ=180°,
解得∠OCQ=40°,
即∠OCP=40°.

②当P在线段OA的延长线上(如图2)
∵OC=OQ,∴∠OQP=
180°-∠QOC
2
①,
∵OQ=PQ,
∴∠OPQ=
180°-∠OQP
2
②,
在△OQP中,30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③,精英家教网
把①②代入③得∠QOC=20°,则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°;

③当P在线段OA的反向延长线上(如图3),精英家教网
∵OC=OQ,
∴∠OCP=∠OQC=
180°-∠COQ
2
①,
∵OQ=PQ,
∴∠P=
180°-∠OQP
2
②,
∵∠AOC=30°,
∴∠COQ+∠POQ=150°③,
∵∠P=∠POQ,2∠P=∠OCP=∠OQC④,
①②③④联立得
∠P=10°,
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°.

故答案为:40°、20°、100°.
点评:注意:分三种情况进行讨论是解决本题的关键.
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2
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1
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