Question

1．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建正方形AHGF，则AF=GH=GF，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，DG=x-1，在Rt△DGC中，利用勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理计算AC的长即可．

解答 解：过A作AE⊥DC于E，将△AEC沿AC翻折得△AFC，将△ADE沿AD翻折得△ADH，延长FC、HD交于G，
则∠EAC=∠CAF，∠EAD=∠HAD，∠H=∠F=90°，
∴∠EAC+∠EAD=∠CAF+∠HAD，
∵∠DAC=45°，
即∠EAC+∠EAD=45°，
∴∠HAF=90°，
∴四边形AHGF是矩形，
∵AH=AE，AE=AF，
∴AH=AF，
∴四边形AHGF是正方形，
∴AF=GH=GF，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=2，
由折叠得：FC=EC=2，
HD=DE=3，
设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，
∴DG=x-1，
在Rt△DGC中，DC²=DG²+GC²，
5²=（x-1）²+x²，
解得：x₁=4，x₂=-3（舍），
∴AF=x+2=4+2=6，
Rt△ACF中，AC=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
故答案为：2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了正方形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、翻折的性质和勾股定理，本题的关键是构建正方形AHGF，同时设未知数，列方程解决问题．