Question

设x₁，x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立？请说明理由．
（温馨提示：关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，则它的两个实数根是：）

Answer 1

解：∵方程有实数根，
∴b²-4ac≥0，
∴（-4）²-4（k+1）≥0，
即k≤3．
解法一：又∵，
∴x₁+x₂=（2+）+（2-）=4．
x₁•x₂=（2+）•（2-）=k+1．
若x₁•x₂＞x₁+x₂，
即k+1＞4，∴k＞3．
而这与k≤3相矛盾，
因此，不存在实数k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立．
解法二：又∵x₁+x₂==4，
x₁•x₂==k+1（以下同解法一）．
分析：方程有两个实数根，必须满足△=b²-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，找出其矛盾，证明出不存在符合条件的实数k．
点评：一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0），根与系数的关系是：x₁+x₂=，x₁x₂=，本题运用解法二更简便．