Question

4．如图，点E是∠AOB平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：
（1）△DEO≌△CEO；
（2）OE是线段CD的垂直平分线．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到ED=EC，根据直角三角形全等的判定定理证明即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理证明．

解答 证明：（1）∵OE平分∠BOA，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，
∠EDC=∠ECO=90°，
在Rt△EDO和Rt△ECO中，$\left\{{\begin{array}{l}{EO=EO}\\{ED=EC}\end{array}}\right.$
∴Rt△EDO≌Rt△ECO；
（2）由（1）知，△EDO≌△ECO
∴ED=EC，OD=OC，
∴点E在CD的垂直平分线上，
点O在CD的垂直平分线上，
∴OE是线段CD的垂直平分线．

点评 本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．