Question

（2012•南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）①折叠后的

AB

所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
     ②如图2，当折叠后的

AB

经过圆心为O时，求

AOB

的长度；
     ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的

AB

与

CD

所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的

AB

与

CD

所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）①折叠后的

AB

所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度；
②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到

AOB

的圆心角，再根据弧长公式计算即可；
③如图3，连接O′A、O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求

AOB

所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（2）①如图4，

CPD

与

APB

所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交

AEB

于于点E，交

CFD

于点F，根据折叠的性质，可求点O到AB、CD的距离之和；
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证．

解答：解：（1）①折叠后的

AB

所在圆O′与⊙O是等圆，
∴O′A=OA=2；
②当

AB

经过圆O时，折叠后的

AB

所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A、OA、O′B，OB，OO′
∵△OO′A△OO′B为等边三角形，
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
∴l

AB

=

120π×2

180

=

4π

3

；
③如图3所示，连接OA，OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E，
∴OE=OA•sin60°=

3

．

（2）①如图4，当折叠后的

AB

与

CD

所在圆外切于点P时，
过点O作EF⊥AB交AB于点H、交

AEB

于点E，交CD于点G、交

CFD

于点F，
即点E、H、P、O、G、F在直径EF上，
∵AB∥CD，
∴EF垂直平分AB和CD，
根据折叠的性质，可知PH=

1

2

PE，PG=

1

2

PF，
又∵EF=4，
∴点O到AB、CD的距离之和d为：
d=PH+PG=

1

2

PE+

1

2

PF=

1

2

（PE+PF）=2，
②如图5，当AB与CD不平行时，
四边形PNOM是平行四边形．证明如下：
设折叠后的

AB

所在圆的圆心为O′，折叠后的

CD

所在圆的圆心为O″，
∵点O′与点O关于AB对称，点O″与点O关于CD对称，
∴O′M=OM，ON=O″N，
∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点
∵折叠后的

APB

与

CPD

所在圆外切，
∴连心线O′O″必过切点P，
∵折叠后的

APB

与

CPD

所在圆与⊙O是等圆，
∴O′P=O″P=2，
∴PM=

1

2

OO″=ON，
同理：PN=OM，
∴四边形OMPN是平行四边形．

点评：综合考查了相切两圆的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，综合性较强，难度较大．