Question

如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

1.（1）求抛物线的解析式；

2.（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

3.（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解（1）设抛物线的解析式为=²+ +（≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得

，

解得．

故抛物线的解析式为=²+2；

2.（2）①当AE为边时，

∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，

∴DE=AO=2，

则D在轴下方不可能，

∴D在轴上方且DE=2，

则D₁（1，3），D₂（﹣3，3）；

②当AO为对角线时，则DE与AO互相平行，

因为点E在对称轴上，

且线段AO的中点横坐标为﹣1，

由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）

故符合条件的点D有三个，分别是D₁（1，3），D₂（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）

3.（3）存在，

如上图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：

BO²=18，CO²=2，BC²=20，

∴BO²+CO²=BC²．

∴△BOC是直角三角形．

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，

设P（，），由题意知＞0，＞0，且=²+2，

①若△AMP∽△BOC，则=，

即 +2=3（²+2）

得：₁=，₂=﹣2（舍去）．

当=时，y=，即P（，）．

②若△PMA∽△BOC，则=，

即：²+2=3（+2）

得：₁=3，₂=﹣2（舍去）

当=3时，=15，即P（3，15）．

故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．

【解析】略