Question

（2013•晋江市）如图，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线y=x相交于点P，以OP为半径的⊙P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．设直线l的运动时间为t秒．
（1）填空：当t=1时，⊙P的半径为

2

，OA=

2

，OB=

2

；
（2）若点C是坐标平面内一点，且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形．
①请你直接写出所有符合条件的点C的坐标；（用含t的代数式表示）
②当点C在直线y=x上方时，过A、B、C三点的⊙Q与y轴的另一个交点为点D，连接DC、DA，试判断△DAC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用垂径定理、等腰直角三角形的性质求解；
（2）①本问关键是画出符合条件的图形，总共有3种情况，如答图1所示，注意不要遗漏；
②关键点在于：首先，本问的图形比较复杂，需正确作出图形；其次，找到线段CD与AD之间的关联，这就是Rt△DCE∽Rt△ADO，通过计算可知其相似比为1，即两个三角形全等，从而得到CD=AD，△DAC为等腰直角三角形；
本问符合条件的点C有2个，因此存在两种情形，分别如答图2和答图3所示，注意不要遗漏．

解答：解：（1）

2

，OA=2，OB=2； …（3分）

（2）符合条件的点C有3个，如图1．
连接PA，∵∠AOB=90°，由圆周角定理可知，AB为圆的直径，点A、P、B共线．
∵圆心P在直线y=x上，∴∠POA=∠POB=45°，
又∵PO=PA=PB，∴△POB与△POA均为等腰直角三角形．
设动直线l与x轴交于点E，则有E（t，0），P（t，t），B（0，2t）．
∵OBPC₁为平行四边形，∴C₁P=OB=2t，C₁E=C₁P+PE=2t+t=3t，
∴C₁（t，3t）；
同理可求得：C₃（t，-t）；
∵OPBC₂为平行四边形，且PB=PO，∠OPB=90°，
∴?OPBC₂为正方形，其对角线OB位于y轴上，则点P与点C₂关于x轴对称，
∴C₂（-t，t）；
∴符合条件的点C有3个，分别为C₁（t，3t）、C₂（-t，t）、C₃（t，-t）；…（7分）

（3）△DAC是等腰直角三角形．理由如下：
当点C在第一象限时，如图2，连接DA、DC、PA、AC．
由（2）可知，点C的坐标为（t，3t），由点P坐标为（t，t），点A坐标为（2t，0），点B坐标为（0，2t），
可知OA=OB=2t，△OAB是等腰直角三角形，
又PO=PB，进而可得△OPB也是等腰直角三角形，则∠POB=∠PBO=45°．
∵∠AOB=90°，∴AB为⊙P的直径，∴A、P、B三点共线，
又∵BC∥OP，∴∠CBE=∠POB=45°，
∴∠ABC=180°-∠CBE-∠PBO=90°，
∴AC为⊙Q的直径，∴DA⊥DC…（9分）
∴∠CDE+∠ADO=90°
过点C作CE⊥y轴于点E，则有∠DCE+∠CDE=90°，∴∠ADO=∠DCE，
∴Rt△DCE∽Rt△ADO，
∴

EC

OD

=

DE

AO

，即

t

OD

=

3t-OD

2t

，
解得OD=t或OD=2t
依题意，点D与点B不重合，∴舍去OD=2t，只取OD=t，
∴

EC

OD

=1，即相似比为1，此时两个三角形全等，则DC=AD，
∴△DAC是等腰直角三角形．…（11分）
当点C在第二象限时，如图3，同上可证△DAC也是等腰直角三角形． …（12分）
综上所述，当点C在直线y=x上方时，△DAC必为等腰直角三角形．…（13分）

点评：本题是代数几何综合题，综合考查了圆、一次函数、平行四边形、正方形、等腰直角三角形、相似三角形、全等三角形等知识点，图形复杂，难度较大，对学生的数学能力要求很高．本题容易失分之处在于：其一，（2）①问中有三种情形，（2）②问中有两种情形，学生容易遗漏；其二，（2）②问中找不到线段AD与CD之间的关联关系（Rt△DCE∽Rt△ADO），从而无从判断△DAC的形状．