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通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.
原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.

(1)思路梳理
∵AB=CD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.
根据______,易证△AFG≌______,得EF=BE+DF.
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系______时,仍有EF=BE+DF.
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.
【答案】分析:(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,再证明△AFG≌△AEF进而得到EF=FG,即可得EF=BE+DF;
(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF,与(1)的证法类同;
(3)根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′,根据旋转的性质,可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,根据Rt△ABC中的,AB=AC得到∠E′BD=90°,所以E′B2+BD2=E′D2,证△AE′D≌△AED,利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2
解答:解:(1)∵AB=CD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
在△AFG和△AEF中
∴△AFG≌△AEF(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF.

(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
在△AFG和△AEF中
∴△AFG≌△AEF(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF.

(3)猜想:DE2=BD2+EC2
证明:根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′,
∴△AEC≌△ABE′,
∴BE′=EC,AE′=AE,
∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,
在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABC+∠ABE′=90°,
即∠E′BD=90°,
∴E′B2+BD2=E′D2
又∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°,
∴∠E′AB+∠BAD=45°,
即∠E′AD=45°,
在△AE′D和△AED中,

∴△AE′D≌△AED(SAS),
∴DE=DE′,
∴DE2=BD2+EC2
点评:此题主要考查了几何变换,关键是正确画出图形,证明△AFG≌△AEF.此题是一道综合题,难度较大,题目所给例题的思路,为解决此题做了较好的铺垫.
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•达州)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.
原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.

(1)思路梳理
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.
根据
SAS
SAS
,易证△AFG≌
△AEF
△AEF
,得EF=BE+DF.
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
时,仍有EF=BE+DF.
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.

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科目:初中数学 来源:2013年四川省达州市高级中等学校招生考试数学 题型:044

通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.

原题:图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.

(1)思路梳理

∵AB=CD,

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.

∵∠ADC=∠B=90°,

∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.

根据________,易证△AFG≌________,得EF=BE+DF.

(2)类比引申

图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系________时,仍有EF=BE+DF.

(3)联想拓展

图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.

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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(四川达州卷)数学(解析版) 题型:解答题

通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例,请补充完整。

原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由。

(1)思路梳理

∵AB=CD,

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°,

∴∠FDG=180°,点F、D、G共线。

根据    ,易证△AFG≌    ,得EF=BE+DF。

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如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系    时,仍有EF=BE+DF。

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如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程。

 

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