Question

【题目】某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的产量为6万件，可在国内和国外两个市场全部销售．若在国外销售，平均每件产品的利润y1（元）与国外销售量x（万件）的函数关系式为y1=．若在国内销售，平均每件产品的利润为y2=84元．

（1）求该公司每年在国内和国外销售的总利润w（万元）与国外销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（2）该公司每年在国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？

（3）该公司计划从国外销售的每件产品中捐出2m（1≤m≤4）元给希望工程，从国内销售的每件产品中捐出m元给希望工程，且国内销售不低于4万件，若这时国内国外销售的总利润的最大值为520万元，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）当该公司每年的国外销售量为5万件，国内销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是554万元；（3）m=2

【解析】

（1）由利润等于每件的利润乘以件数，代入分段函数解析式，化简可得解；
（2）结合（1）分别计算分段利润函数的最大值，最后得出最大值即可；
（3）该公司计划在国内销售不低于4万件，而该公司每年的年产量为6万件，则该公司每年在国外销售的件数x的范围为：0≤x≤2，则总利润w′=（100-2m）x＋（84-m）（6-x）=（16-m）x＋504-6m．根据m的取值范围，x的取值范围及一次函数的性质，，结合最大利润为520万元，可分析求得．

解：（1）w=y1x＋84（6-x）．

当0≤x≤2时，w=100x＋84（6-x）=16x＋504；

当2≤x≤6时，w=x（-2x＋104）＋84（6-x）=-2x2＋20x＋504．

∴w=．

（2）当0≤x≤2时，w=16x＋504；

∵k =16＞0，当x=2时，w=16x＋504的最大值为536；

当2≤x≤6时，w=-2x2＋20x＋504=-2（x-5）2＋554．

∵a=-2＜0，∴当x=5时取最大值554，

∵554＞536，所以当x=5时取最大值554．

即：当该公司每年的国外销售量为5万件，国内销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是554万元．

（3）∵该公司计划在国内销售不低于4万件，即6-x≥4，则x≤2，

∴该公司每年在国外销售的件数x的范围为：0≤x≤2．

则总利润w′=（100-2m）x＋（84-m）（6-x）=（16-m）x＋504-6m．

∵1≤m≤4，∴16-m＞0，则当x=2时，w′取得最大值．

依题意得：2（16-m）＋504-6m=536-8m=520，解得：m=2．