【题目】如图,在中,,,,点是边上一动点(不与点重合),过点作交边于点,将沿直线翻折,点落在射线上的点处,当为直角三角形时,求的长.
【答案】1或2
【解析】
由题意根据翻折的性质以及勾股定理和特殊锐角三角函数值进行综合分析求解.
解:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴,
∵∠B=30°,DE⊥BC,
∴∠BED=60°,
由翻折的性质可知:∠BED=∠FED=60°,
∴∠AEF=60°,
∵△AEF为直角三角形,
∴∠EAF=30°,
∴AE=2EF,
由翻折的性质可知:BE=EF,
∴AB=3BE,
∴,
当点F在BC的延长线上时.
∵△AEF为直角三角形,
∴∠EAF=90°,
∴∠EFA=30°,
∴∠EFD=∠EFA,
又∵ED⊥BF,EA⊥AF,
∴AE=DE,
∵BC=3,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴,
设,
∵DE∥AC,
∴,
解得,
∴,
∴BD的长为1或2时,△AEF为直角三角形.
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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【题目】如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
⑴求抛物线的解析式及点C的坐标;
⑵求证:△ABC是直角三角形;
⑶若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A,过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B,AB=.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若P(x1,y1)、Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且x1<x2时,y1>y2,指出点P、Q各位于哪个象限?并简要说明理由.
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【题目】已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形,分别延长AB和DC,它们相交于P,若∠APD=60°,AB=5,PC=4,则⊙O的面积为( )
A. 25π B. 16π C. 15π D. 13π
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【题目】如图,直线MN∥PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F.若AB=2,∠ABP=60°,则线段AF的长为_____.
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【题目】如图,直线y=x+3交x轴于A点,将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O,另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上,若N点在第二象限内,则tan∠AON的值为( )
A. B. C. D.
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