在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB=.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=,AC与y轴交于点E.
(1)求AC所在直线的函数解析式;
(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积;
(3)已知点F(10,0),在△ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△OFP全等,且这两个三角形在OP的异侧?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据三角函数求E点坐标,运用待定系数法求解; (2)在Rt△OGE中,运用三角函数和勾股定理求EG,OG的长度,再计算面积; (3)分两种情况讨论求解:①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线AC的交点坐标即可. 解答:解:(1)在Rt△OCE中,OE=OCtan∠OCE==,∴点E(0,2). 设直线AC的函数解析式为y=kx+,有,解得:k=. ∴直线AC的函数解析式为y=. (2)在Rt△OGE中,tan∠EOG=tan∠OCE==, 设EG=3t,OG=5t,OE==t,∴,得t=2, 故EG=6,OG=10, ∴S△OEG=. (3)存在. ①当点Q在AC上时,点Q即为点G, 如图1,作∠FOQ的角平分线交CE于点P1, 由△OP1F≌△OP1Q,则有P1F⊥x轴,由于点P1在直线AC上,当x=10时, y=-=, ∴点P1(10,). ②当点Q在AB上时, 如图2,有OQ=OF,作∠FOQ的角平分线交CE于点P2, 过点Q作QH⊥OB于点H,设OH=a, 则BH=QH=14-a, 在Rt△OQH中,a2+(14-a)2=100, 解得:a1=6,a2=8, ∴Q(-6,8)或Q(-8,6). 连接QF交OP2于点M. 当Q(-6,8)时,则点M(2,4). 当Q(-8,6)时,则点M(1,3). 设直线OP2的解析式为y=kx,则 2k=4,k=2. ∴y=2x. 解方程组,得. ∴P2(); 当Q(-8,6)时,则点M(1,3). 同理可求P2′(). 综上所述,满足条件的P点坐标为(10,)或()或(). 点评:此题考查一次函数的综合应用,运用了分类讨论的数学思想方法,综合性强,难度大. |
一次函数综合题. |
科目:初中数学 来源: 题型:
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