Question

13．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若把抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）向下平移$\frac{13}{3}$个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可先求得抛物线的顶点坐标，再利用坐标平移，可得平移后的坐标为（1+n，1），再由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式，可求得y=1时，对应的x的值，从而可求得n的取值范围；
（3）当点P在y轴负半轴上时，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，根据条件可知∠PAD=45°，设PD=DA=m，由△COA∽△CDP，可求出m和PC的长，此时可求得PO=12，利用等腰三角形的性质，可知当P点在y轴正半轴上时，则有OP=12，从而可求得PC=5．

解答 解：
（1）把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+5；
（2）∵y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，$\frac{16}{3}$），
∴当抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）向下平移$\frac{13}{3}$个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），
设直线BC解析式为y=kx+m，把B、C两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{5k+m=0}\\{m=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=5}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+5，
令y=1，代入可得1=-x+5，解得x=4，
∵新抛物线的顶点M在△ABC内，
∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，
即n的取值范围为0＜n＜3；
（3）当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，

由题意可知OB=OC=5，
∴∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=$\sqrt{34}$，
设PD=AD=m，则CD=AC+AD=$\sqrt{34}$+m，
∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，
∴△COA∽△CDP，
∴$\frac{CO}{CD}$=$\frac{AO}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$，即$\frac{5}{\sqrt{34}+m}$=$\frac{3}{m}$=$\frac{\sqrt{34}}{PC}$，
由$\frac{5}{\sqrt{34}+m}$=$\frac{3}{m}$可求得m=$\frac{3\sqrt{34}}{2}$，
∴$\frac{3}{\frac{3\sqrt{34}}{2}}$=$\frac{\sqrt{34}}{PC}$，解得PC=17；
可求得PO=PC-OC=17-5=12，
如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，

则∠OP′A=∠OPA，
∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，
∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′-OC=12-5=7，
综上可知PC的长为7或17．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及到的知识点有待定系数法、坐标的平移、三角形的外角、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及分类讨论等．在（2）中确定出M点向右平移的最大位置是解题的关键，在（3）中利用∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°构造三角形相似是解题的关键．本题目考查知识点多，综合性强，特别是第（3）问难度很大．