Question

4．如图，已知二次函数y=-x²+c的图象经过点A（-2，0）．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B的坐标；
（2）如果点C的坐标为（3，0），AE⊥BC，垂足为点E，点D在直线AE上，DE=1，如果某二次函数的图象以点B为顶点且过点D，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）将点A代入解析式求得c=4，可得答案；
（2）待定系数求出BC所在直线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，过点E作EF⊥x轴于点F，设E的坐标为（m，-$\frac{4}{3}$m+4），结合AE⊥BC依据射影定理可得EF²=AF•FC，即（-$\frac{4}{3}$m+4）2=（m+2）（3-m），解之可得m的值，从而得出点E坐标，可求得直线AE的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，再设点D的坐标为（n，$\frac{3}{4}$n+$\frac{3}{2}$），过点D作DM⊥EF于点M，由勾股定理知DM²+EM²=DE²，即（$\frac{6}{5}$-n）²+（$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{4}$n-$\frac{3}{2}$）²=1，解之得出n的值，即可得点D的坐标，根据抛物线的顶点为B（0，4）利用待定系数法可得二次函数解析式．

解答 解：（1）∵y=-x²+c的图象经过点A（-2，0）．
∴-4+c=0，
解得：c=4，
∴这个二次函数的解析式y=-x²+4，顶点坐标为（0，4）；

（2）设BC所在直线解析式为y=kx+b，
将点B（0，4）、C（3，0）代入解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴BC所在直线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
如图，过点E作EF⊥x轴于点F，设E的坐标为（m，-$\frac{4}{3}$m+4），

∵AE⊥BC，
∴EF²=AF•FC，即（-$\frac{4}{3}$m+4）2=（m+2）（3-m），
解得：m=$\frac{6}{5}$或m=3（舍），
∴点E的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），
又∵A（-2，0），
∴可求得直线AE的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
设点D的坐标为（n，$\frac{3}{4}$n+$\frac{3}{2}$），
过点D作DM⊥EF于点M，
则DM²+EM²=DE²，
∴（$\frac{6}{5}$-n）²+（$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{4}$n-$\frac{3}{2}$）²=1，
解得：n=$\frac{2}{5}$或n=2，
∴点D的坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{9}{5}$）或（2，3），
设二次函数解析式为y=ax²+4，
当抛物线过D（$\frac{2}{5}$，$\frac{9}{5}$）时，$\frac{4}{25}$a+4=$\frac{9}{5}$，
解得：a=-$\frac{55}{4}$，
此时二次函数解析式为y=-$\frac{55}{4}$x²+4；
当抛物线过D（2，3）时，4a+4=3，
解得：a=-$\frac{1}{4}$，
此时二次函数解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+4；
综上，这个二次函数的解析式为y=-$\frac{55}{4}$x²+4或y=-$\frac{1}{4}$x²+4．

点评 本题主要考查待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点并灵活运用是解题的关键．